आप समय और कार्य संबंधी प्रश्नों की गणना कैसे करते हैं?

आप राशियों के बीच संबंध ज्ञात करके तथा लेख में ऊपर दिए गए सूत्र और लघु युक्तियों का उपयोग करके समय और कार्य संबंधी प्रश्नों को आसानी से हल कर सकते हैं।

समय और कार्य के नोट्स, प्रश्नों को हल करने की सरल Tricks

समय और कार्य (Time and Work) गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसका उपयोग विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में किया जाता है। इस अध्याय में हम सीखते हैं कि कैसे समय, कार्य, और कार्यकर्ताओं की संख्या के बीच संबंध स्थापित किया जा सकता है। यह विषय न केवल परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण है, बल्कि वास्तविक जीवन में भी इसका व्यापक उपयोग होता है, जैसे कि किसी कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय की गणना करना या कार्यकर्ताओं की संख्या निर्धारित करना। इस लेख में हम समय और कार्य से संबंधित महत्वपूर्ण सूत्रों, अवधारणाओं, और त्वरित हल करने की ट्रिक्स को शामिल करेंगे।

समय और कार्य

बैंकिंग, एसएससी, रेलवे और विभिन्न सरकारी निकायों द्वारा आयोजित की जाने वाली प्रतियोगी परीक्षाओं सहित कई प्रतियोगी परीक्षाओं में समय और कार्य की समस्याओं का बहुत महत्व है। इन परीक्षाओं में उत्कृष्टता प्राप्त करने के लिए इस विषय में दक्षता महत्वपूर्ण है। समय और कार्य की अवधारणाओं के साथ-साथ प्रभावी सूत्रों और शॉर्टकट की मजबूत समझ होने से आपकी सफलता की संभावनाएँ बहुत बढ़ सकती हैं। समय और कार्य के प्रश्न डेटा व्याख्या और डेटा पर्याप्तता सहित कई अन्य अवधारणाओं की नींव हैं। नीचे दिए गए लेख को पढ़ें और उन सूत्रों, ट्रिक्स और प्रश्नों की सूची पाएँ जो आपको विषय वस्तु के बारे में अपनी शंकाओं को दूर करने में मदद करेंगे।

समय और कार्य: महत्व

समय और कार्य के विषय पर कई प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं, हालांकि समय और कार्य की अवधारणा एक ही रहती है। यह सबसे आम विषय है जो हर सरकारी परीक्षा में पूछा जाता है। उम्मीदवार डेटा पर्याप्तता और डेटा व्याख्या में भी समय और कार्य के प्रश्न देखने की उम्मीद कर सकते हैं, जिसके लिए समय और कार्य की मूल अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण हो जाता है। इसलिए, इस लेख में, हमने समय और कार्य के सूत्रों के साथ-साथ समय और कार्य की तरकीबें भी शामिल की हैं ताकि उम्मीदवार कम समय में अधिक अंक प्राप्त कर सकें।

समय और कार्य: सूत्र

जब आप समय और कार्य सूत्र को जानते हैं, तो प्रश्न पढ़ते ही आप उस सूत्र को समाधान से पूरी तरह जोड़ सकते हैं। समय और कार्य की तरकीबें जानने से आपको कुछ सेकंड में प्रश्न हल करने में भी मदद मिलेगी, जिससे आपको अन्य अनुभागों के लिए समय की बचत होगी। आप नीचे समय और कार्य के महत्वपूर्ण तरकीबों के साथ-साथ समय और कार्य के सूत्र पा सकते हैं।

1. मूल सूत्र:

कार्य = दर × समय
समय = कार्य / दर
दर = कार्य / समय

2. दर का व्युत्क्रम: कभी-कभी, दर के व्युत्क्रम के साथ काम करना आसान होता है, जो प्रति इकाई समय में किए गए कार्य को दर्शाता है।

दर का व्युत्क्रम = 1 / दर

3. संयुक्त कार्य:

यदि A किसी कार्य को ‘x’ दिनों में पूरा कर सकता है, तो A की कार्य दर 1/x है।
यदि B किसी कार्य को ‘y’ दिनों में पूरा कर सकता है, तो B की कार्य दर 1/y है।
जब A और B एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्य दर 1/x + 1/y है।

4: A और B द्वारा एकसाथ लिया गया समय:

यदि A और B एक साथ काम करते हैं, तो कार्य पूरा करने में लगने वाला समय है:
समय = 1 / (1/x + 1/y)

5. दो से अधिक श्रमिकों द्वारा लिया गया समय:

जब दो से अधिक श्रमिकों शामिल होते हैं, तो सूत्र बन जाता है:
समय = 1 / (1/x + 1/y + 1/z + …)

समय और कार्य: प्रश्न और ट्रिक्स

Q. A अकेले काम करके किसी काम को 6 दिन में पूरा कर सकता है और B अकेले काम करके उसी काम को 12 दिन में पूरा कर सकता है। यदि वे दोनों मिलकर काम करें, तो काम कितने दिन में पूरा हो जाएगा?

Sol. x = 6, y = 12

A + B एक साथ कार्य करते हुए कार्य को पूरा करेंगे = XY/(x + y)=(6 × 8)/18

= 4 दिन

यदि A, B और C अकेले काम करते हैं और क्रमशः x, y और z दिनों में काम पूरा कर सकते हैं, तो वे एक साथ काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?

XYZ/(xy+yz+zx)

हल

⇒ A का 1 दिन का कार्य = 1/x

B का 1 दिन का कार्य = 1/y

C का 1 दिन का कार्य = 1/z

(A + B + C) का 1 दिन का कार्य = 1/x+1/y+1/z =(yz+xz+xy)/xyz

(A + B + C) कार्य को कितने समय में पूरा करेगा

=xyz/(yz+xz+xy)

Q. A, B और C किसी काम को क्रमशः 10, 15 और 18 दिनों में पूरा कर सकते हैं। वे सभी एक साथ काम करके उसी काम को कितने दिनों में पूरा करेंगे?

Sol. x = 10 दिन, y = 15 दिन & z = 18 दिन

यह कार्य पूरा हो जाएगा

=(10×15×18)/(10×15+15×18+18×10)

=2700/600=4½ दिन

दो व्यक्ति A और B एक साथ काम करते हुए किसी काम को x दिन में पूरा कर सकते हैं। यदि A अकेले काम करते हुए उस काम को y दिन में पूरा कर सकता है, तो B अकेले काम करते हुए उस काम को कितने दिन में पूरा करेगा?

⇒xy/(y-x)

हल

⇒ A + B का 1 दिन का कार्य = 1/x

A का 1 दिन का कार्य = 1/y

B का 1 दिन का कार्य = 1/x-1/y

=(y-x)/yx

B कार्य पूरा करेगा = yx/(y – x)

Q. A और B एक साथ मिलकर एक काम को पूरा करने में 15 दिन लेते हैं। यदि A अकेले इस काम को 20 दिनों में कर सकता है, तो B को उसी काम को पूरा करने में कितना समय लगेगा?

Sol. x = 15, y = 20

B कार्य को पूरा करेगा = (15 × 20)/5

= 60 दिन

यदि A और B एक साथ काम करते हुए किसी काम को x दिन में, B और C y दिन में तथा C और A z दिन में पूरा कर सकते हैं, तो A + B + C एक साथ काम करते हुए काम को कितने दिन में पूरा करेंगे?

⇒2xyz/(xy+yz+zx)

हल

⇒ A + B का 1 दिन का कार्य = 1/x

B + C का 1 दिन का कार्य = 1/y

C + A का 1 दिन का कार्य = 1/z

[(A + B) + (B + C) + (C + A)] का 1 दिन का कार्य

=1/x+1/y+1/z

=(yz+xz+xy)/XYZ

2 (A + B + C) का 1 दिन का कार्य = (xy + yz + xz)/XYZ

A + B + C का 1 दिन का कार्य = (xy + yz + xz)/2xyz

A + B + C एक साथ काम करते हुए कार्य को पूरा करेंगे

=2xyz/(xy+yz+xz)

Q. A और B एक काम को 12 दिनों में, B और C 15 दिनों में तथा C और A 20 दिनों में कर सकते हैं। पूरा काम एक साथ पूरा करने में उन्हें कितना समय लगेगा?

Sol. x = 12 दिन, y = 15 दिन, z = 20 दिन

A+B+C=(2×12×15×20)/(180+300+240)

=7200/720=10 दिन

यदि A किसी कार्य को x दिनों में पूरा कर सकता है तथा B, A से k गुना अधिक कुशल है, तो A तथा B दोनों द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लिया गया समय है:

x/(1+k)

हल

⇒ कार्य दक्षता का अनुपात, A & B = 1: k

लिए गए समय का अनुपात = k: 1

k → x दिन

1r → x/k दिन

A → x दिन

B → x/k दिन

A का 1 दिन का कार्य = 1/x

B का 1 दिन का कार्य = k/x दिन

(A + B) का 1 दिन का कार्य = 1/x+k/x=(k + 1)/x

(A + B) कार्य पूरा करेगा = x/(k+1)

Q. हरबंस लाल एक काम को 24 दिनों में पूरा कर सकता है। यदि बंसी लाल हरबंस लाल से दोगुनी गति से काम करता है, तो दोनों को मिलकर काम पूरा करने में कितना समय लगेगा?

Sol. x = 24, k = 2

एक साथ मिलकर काम करते हुए वे काम पूरा कर लेंगे = 24/(1 + 2)

=24/3=8 दिन

यदि A और B एक साथ काम करते हुए किसी काम को x दिनों में पूरा कर सकते हैं और B, A से k गुना अधिक कुशल है, तो A द्वारा लिया गया समय,

अकेले काम करने में समय लगेगा ⇒ (k + 1) x

B को अकेले काम करने में समय लगेगा ⇒ ((k+1)/k)x

हल

⇒ दक्षता अनुपात → 1: k

समय का अनुपात → k: 1

A का 1 दिन का कार्य = 1/k

B का 1 दिन का कार्य = 1

(A + B) का 1 दिन का कार्य = 1/x

1/k+1=1/x

(k+1)/k=1/x

k = (k + 1) x

अकेले मिलकर काम करने में समय लगेगा ⇒ (k + 1) x दिन

1 अनुपात = ((k + 1) x)/k

B को अकेले काम करने में समय लगेगा

⇒((k + 1) x)/k

Q. A और B मिलकर एक काम 3 दिन में कर सकते हैं। यदि A दिए गए समय में B से तीन गुना काम करता है, तो ज्ञात कीजिए कि A को अकेले उस काम को पूरा करने में कितना समय लगेगा।

Sol. x = 3, k = 3

अकेले काम करते हुए A द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय = ((3 + 1)/3) × 3 = 4 दिन.

यदि A अकेले काम करते हुए A और B से एक दिन अधिक लेता है, और B अकेले काम करते हुए A और B से b-दिन अधिक लेता है। तब,

A और B द्वारा एक साथ मिलकर किसी कार्य को पूरा करने में लिए गए दिनों की संख्या है = √ab

हल :

⇒ माना A + B को x दिन लगते हैं

A → x + a दिन

B → x + b दिन

1/(x+a)+1/(x+b)=1/x

(2x+a+b)/(x²+xa+xb+ab)=1/x

2x² + xa + BX = x² + xa + xb + ab

x² = ab

x = √ab दिन

Q. A अकेले काम पूरा करने में A और B दोनों के साथ काम करने की तुलना में 8 घंटे अधिक समय लेगा। यदि B अकेले काम करता है, तो उसे काम पूरा करने में A और B के साथ काम करने की तुलना में 41/2 घंटे अधिक समय लगता है। यदि A और B दोनों साथ काम करते हैं, तो उन्हें कितना समय लगेगा?

Sol. a = 8, b = 9/2

A + B लेगा = √(8×9/2)

=√36

= 6 दिन

Q. 4 पुरुष और 5 लड़के एक काम को 20 दिनों में कर सकते हैं जबकि 5 पुरुष और 4 लड़के उसी काम को 16 दिनों में कर सकते हैं। 4 पुरुष और 3 लड़के उसी काम को कितने दिन में कर सकते हैं?
a. 10 दिन
b. 15 दिन
c. 20 दिन
d. 25 दिन

सही उत्तर:(c)

Sol: मान लीजिए 1 पुरुष का 1 दिन का कार्य = x और 1 लड़के का 1 दिन का कार्य = y
दिए गए डेटा से हम निम्न समीकरण बना सकते हैं : 4x + 5y = 1/20 —(1) & 5x + 4y = 1/16 —(2)
एक साथ समीकरण (1) और (2) को हल करके,
x = 1/ 80 & y = 0

अत: (4 पुरुष + 3 लड़के) 1 दिन का कार्य = 4 x 1 + 3 x 0 = 1
80 20
इस प्रकार, 4 पुरुष और 3 लड़के काम को 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं।

Q. सोनल और प्रीति ने एक प्रोजेक्ट पर काम करना शुरू किया और वे 30 दिनों में प्रोजेक्ट पूरा कर सकती हैं। सोनल ने 16 दिनों तक काम किया और प्रीति ने शेष काम 44 दिनों में पूरा किया। प्रीति को अकेले पूरा प्रोजेक्ट पूरा करने में कितने दिन लगे होंगे?

20 दिन
25 दिन
55 दिन
46 दिन
60 दिन

सही उत्तर: 60 दिन

Sol: माना सोनल द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य x है
माना प्रीति द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य y है।
तो, x+y = 1/30 ——— (1)
⇒ 16x + 44y = 1 ——— (2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर,
x = 1/60
y = 1/60
इस प्रकार, प्रीति पूरे काम को 60 दिनों में पूरा कर सकती है।

Q. P एक काम को 8 घंटे प्रतिदिन काम करके 12 दिनों में पूरा कर सकता है। Q उसी काम को 10 घंटे प्रतिदिन काम करके 8 दिनों में पूरा कर सकता है। यदि p और Q दोनों एक साथ काम करते हैं, और 8 घंटे प्रतिदिन काम करते हैं, तो वे कितने दिनों में काम पूरा कर सकते हैं?

Sol: P कार्य को (12 x 8) घंटे में पूरा कर सकता है = 96 घंटे
Q कार्य को (8 x 10) घंटे = 80 घंटे में पूरा कर सकता है
इसलिए, P का 1 घंटे का कार्य = 1/96 और Q का 1 घंटे का कार्य = 1/80
(P+Q) का 1 घंटे का काम =(1/96) + (1/80) = 11/480. इसलिए P और Q दोनों 480/11 घंटे में काम पूरा कर लेंगे
इसलिए, 8 घंटे वाले दिनों की संख्या = (480/11) x (1/8) = 60/11

Q. (x-2) पुरुष एक काम को x दिनों में कर सकते हैं और (x+7) पुरुष उसी काम का 75% हिस्सा (x-10) दिनों में कर सकते हैं। तो (x+10) पुरुष काम को कितने दिनों में पूरा कर सकते हैं?

Sol: $\frac{3}{4} \times (x - 2) x = (x + 7) (x - 10)$ $\Rightarrow x^{2} - 6 x - 280 = 0$
=> x= 20 और x=-14
तो, स्वीकार्य मान x=20 है
अतः कुल कार्य =(x-2)x = 18 x 20 =360 इकाई
अब 360 = 30 x k
=> k=12 दिन